Exercises: Tangent of a parabola

Wie gut kennst du dich mit Tangenten aus? Lerne mit diesen Aufgaben, die Tangentengleichung an Parabeln zu berechnen.

1
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- 3 x^{2} + 12 x - 9 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- 3 x^{2} + (12 - m) x - 9 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (12 - m)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 9 - t) = m^{2} - 24 m + 36 - 12 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - 3 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 9 = 3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$3 = 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 24 m + 36 - 12 (3 - 2 m) = m^{2} = 0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m = 0 \Rightarrow t = 3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
Mit Ableitung
$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 6 x + 12$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (2) = - 6 \cdot 2 + 12 = 0 = m$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$3 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
2
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = x^{2} - 18 x + 85$ durch den Punkt $B (9 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^{2} - 18 x + 85 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$x^{2} - (18 + m) x + 85 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (18 + m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (85 - t) = m^{2} + 36 m - 16 + 4 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$4 = 9 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 36 m - 16 + 4 (4 - 9 m) = m^{2} = 0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m = 0 \Rightarrow t = 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
Mit Ableitung
$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x) = 2 x - 18$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (9) = 2 \cdot 9 - 18 = 0 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$4 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
3
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B (- 2 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = - x^{2} - 2 x - 3, B (- 2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- x^{2} - 2 x - 3 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- x^{2} - (2 + m) x - 3 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (2 + m)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3 - t) = m^{2} + 4 m - 8 - 4 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - (- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = - 3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$- 3 = - 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 4 m - 8 - 4 (2 m - 3) = m^{2} - 4 m + 4 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2} \Rightarrow m = 2$
Setze mundb in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$- 3 = - 2 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$
Mit Ableitung
$f (x) = - x^{2} - 2 x - 3, B (- 2 | y)$
Berechne dieAbleitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 2 x - 2$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 2) = - 2 \cdot (- 2) - 2 = 2 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - (- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = - 3$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- 3 = - 2 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$
4
Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = x^{2} + 4 x$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^{2} + 4 x$ $=$ $m x + t$
↓
Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} + (4 - m) x - t$ $=$ $0$
↓
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D$ $=$ $(4 - m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)$
$=$ $m^{2} - 8 m + 16 + 4 t$
$=$ $0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y$ $=$ $2^{2} + 4 \cdot 2$
↓
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$=$ $12$
$12$ $=$ $2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 8 m + 16 + 4 (12 - 2 m) = m^{2} - 16 m + 64 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 16 m + 64 = (m - 8)^{2} = 0 \Rightarrow m = 8$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 8 x - 4$
Mit Ableitung
$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g ‘ (x) = 2 x + 4$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g ‘ (2) = 2 \cdot 2 + 4 = 8 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 2^{2} + 4 \cdot 2 = 12$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 8 x - 4$
5
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an eine Parabel berechnen
Ohne Ableitung
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 | y)$
$m x + t$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
↓
Bringe alles auf eine Seite.
$0$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - (2 + m) x - 3 - t$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null.
$D = (2 + m)^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 3 - t) = m^{2} + 4 m - 2 - 2 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y$ $=$ $- \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3$
$=$ $- \frac{3}{2}$
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein:
$- \frac{3}{2} = - 3 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein.
$0$ $=$ $m^{2} + 4 m - 2 - 2 (3 m - \frac{3}{2})$
$0$ $=$ $m^{2} - 2 m + 1$
↓
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$0$ $=$ $(m - 1)^{2}$
$\Rightarrow m = 1$
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf.
$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf.
$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$
Mit Ableitung
$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
↓
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x)$ $=$ $- x - 2$
↓
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 3)$ $=$ $- (- 3) - 2$
$=$ $1$
$\Rightarrow m = 1$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y = - \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3 = - \frac{3}{2}$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$
6
Berechne die Tangente an die Funktion $h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangenten an Parabeln
Ohne Ableitung
$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$
Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du $x = - 3$ in h einsetzt:
$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$
Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:
$2 x^{2} + 4 x - 1$ $=$ $m x + t$ $- m x - t$
↓
Bringe alles auf eine Seite
$2 x^{2} + (4 - m) x - 1 - t$ $=$ $0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:
$D = (4 - m)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - t) = m^{2} - 8 m + 24 + 8 t = 0$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
$5$ $=$ $- 3 m + t$ $+ 3 m$
$5 + 3 m$ $=$ $t$
Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:
$m^{2} - 8 m + 24 + 8 (5 + 3 m)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die linke Seite aus
$m^{2} + 16 m + 64$ $=$ $0$
↓
Verwende die binomische Formel
$(m + 8)^{2}$ $=$ $0$
$\Rightarrow m = - 8$
Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
$5$ $=$ $- 3 \cdot (- 8) + t$ $- 24$
$- 19$ $=$ $t$
Stelle die Tangentengleichung auf:
$t_{B} (x) = - 8 x - 19$
Mit Ableitung
$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$h^{'} (x) = 4 x + 4$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$h^{'} (- 3) = 4 \cdot (- 3) + 4 = - 8 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$5 = - 3 \cdot (- 8) + t \Rightarrow t = - 19$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = - 8 x - 19$
7
Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = \frac{3}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ durch den Punkt $B (- 1 | y)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Tangente an Parabeln berechnen
Ohne Ableitung
$g (x) = \frac{3}{2} (x + 2)^{2} - 2, B (- 1 | y)$
Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus
$g (x) = \frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 4$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$\frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 4 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$\frac{3}{2} x^{2} + (6 - m) x + 4 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (6 - m)^{2} - 4 \cdot (\frac{3}{2}) \cdot (4 - t) = m^{2} - 12 m + 12 + 6 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = \frac{3}{2} (- 1)^{2} + 6 \cdot (- 1) + 4 = - \frac{1}{2}$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 12 m + 12 + 6 (m - \frac{1}{2}) = m^{2} - 6 m + 9 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 6 m + 9 = (m - 3)^{2} = 0 \Rightarrow m = 3$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot 3 + t \Rightarrow t = \frac{5}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3 x + \frac{5}{2}$
Mit Ableitung
$g (x) = \frac{3}{2} (x + 2)^{2} - 2, B (- 1 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g ‘ (x) = 3 (x + 2) \cdot 1 = 3 x + 6$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g ‘ (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 6 = 3 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = \frac{3}{2} (- 1 + 2)^{2} - 2 = - \frac{1}{2}$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot 3 + t \Rightarrow t = \frac{5}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3 x + \frac{5}{2}$
8
Berechne den Berührpunkt $B$ und die Gleichung einer Tangente an die Parabel $p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ so, dass die Tangente zur Tangente im Berührpunkt $A (1,25 | y)$ senkrecht ist.

For this task you need the following basic knowledge: Tangenten an Parabeln berechnen
Die Tangente an einer Parabel ist eine Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt und deren Steigung der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt ist.
Gegeben:
$p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ und $A (1,25 | y)$
Gesucht:
Parabelpunkt $B (x_{B} | y_{B})$
Berechne die 2. Koordinate von $A$ durch Einsetzen in die Parabelgleichung.
$p (1,25)$ $=$ $(1,25 - 1)^{2} + 1$
$=$ $1,0625$
$\Rightarrow A (1,25 | 1,0625)$
Berechne die Ableitung $p^{'} (x)$ und damit die Steigung $m_{A}$ der Tangente im Punkt $A$ .
$p^{'} (x)$ $=$ $2 x - 2$
↓
Einsetzen des Wertes
$p^{'} (1,25)$ $=$ $2 \cdot 1,25 - 2$
$p^{'} (1,25)$ $=$ $0,5$
$m_{A}$ $=$ $0,5$
Für die zu $m_{A}$ senkrechte Steigung $m_{B}$ gilt: $m_{A} \cdot m_{B} = - 1$ .
$m_{A} \cdot m_{B}$ $=$ $- 1$
$0,5 \cdot m_{B}$ $=$ $- 1$ $\cdot 2$
$m_{B}$ $=$ $- 2$
Setze den Steigungswert $- 2$ für $p^{'} (x)$ ein und berechne die x-Koordinate $x_{B}$ des gesuchten Punktes $B$
$p^{'} (x)$ $=$ $2 x_{B} - 2$
↓
Einsetzten von -2
$- 2$ $=$ $2 x_{B} - 2$ $+ 2$
$0$ $=$ $2 x_{B}$
$x_{B}$ $=$ $0$
Setze $x_{B}$ in die Parabelgleichung ein, um $y_{B}$ zu erhalten.
$p (0)$ $=$ $(0 + 1)^{2} + 1$
$=$ $2$
$\Rightarrow B (0 | 2)$
Stelle die Tangentengleichung in $B$ auf.
$\frac{y - 2}{x - 0}$ $=$ $- 2$ $\cdot x$
$y - 2$ $=$ $- 2 \cdot x$ $+ 2$
$y$ $=$ $- 2 x + 2$

Die Tangenten von einem Punkt der Symmetrieachse der Parabel $p : y = - (x - 1)^{2} + 1$ an die Parabel stehen aufeinander senkrecht. Berechne die Berührpunkte und die Gleichungen der Tangenten.

For this task you need the following basic knowledge: Tangentenberechnung

$p : y = - (x - 1)^{2} + 1$

Entnimm der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel.

$S (1 | 1)$

$\Rightarrow x = 1$ ist Symmetrieachse

Wähle auf der Symmetrieachse einen beliebigen Punkt.

$S_{k} (1 | k)$ sei ein beliebiger Punkt auf der Symmetrieachse.

Stelle eine Geradengleichung $g$ durch den Punkt $S_{k}$ mit variabler Steigung $m$ auf.

$g : \frac{y - k}{x - 1}$	$=$	$m$	$\cdot (x - 1)$
$y - k$	$=$	$m (x - 1)$	$+ k$
$y$	$=$	$m x - m + k$

Schneide die Gerade $g$ mit der Parabel $p$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$m x - m + k$
	↓	Löse die Klammer auf.
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$m x - m + k$	$- m x + m - k$
$- x^{2} + 2 x - m x + m - k$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
	↓	Fasse zusammen
$x^{2} + (m - 2) x + (k - m)$	$=$	$0$

Damit die Gerade $g$ eine Tangente an die Parabel $p$ ist, dürfen sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. In diesem Fall muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein.

Setze die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der quadratischen Gleichung

$x^{2} + (m - 2) x + (k - m) = 0$ gleich null.

${(m - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (k - m)$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $m$ auf.
$m^{2} - 4 m + 4 - 4 k + 4 m$	$=$	$0$
$m^{2} + 4 - 4 k$	$=$	$0$	$+ 4 k - 4$
$m^{2}$	$=$	$4 k - 4$
	↓	Klammere $4$ aus.
$m^{2}$	$=$	$4 (k - 1)$	$\sqrt{}$
$m_{1,2}$	$=$	$\pm 2 \sqrt{k - 1}$

Beachte jetzt die gestellte Aufgabe:

Die beiden Tangenten für $m_{1}$ bzw. $m_{2}$ sollen aufeinander senkrecht stehen.

Es muss also gelten: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

$(+ 2 \sqrt{k - 1}) \cdot (- 2 \sqrt{k - 1})$	$=$	$- 1$
$- 4 (k - 1)$	$=$	$- 1$	$: (- 4)$
$k - 1$	$=$	$0,25$	$+ 1$
$k$	$=$	$1,25$

Mit $k = 1,25$ folgt $S_{k} (1 | 1,25)$ .

Setze $k = 1,25$ in $m_{1 / 2} = \pm 2 \sqrt{k - 1}$

$m_{1} = + 1$ und $m_{2} = - 1$ .

Gib die Tangentengleichungen an.

$t_{1} : \frac{y - 1,25}{x - 1}$	$=$	$+ 1$
$t_{1} : y$	$=$	$x + 0,25$

$t_{2} : \frac{y - 1,25}{x - 1}$	$=$	$- 1$
$t_{2} : y$	$=$	$- x + 2,25$

Schneide die Tangenten mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$t_{1} \cap p$

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$x + 0,25$
	↓	Klammer auflösen.
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$x + 0,25$	$- x - 0,25$
$- x^{2} + x - 0,25$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$x^{2} - x + 0,25$	$=$	$0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
${(x - 0,5)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$x$	$=$	$0,5$

Setze $x = 0,5$ in $t_{1} : y = x + 0,25$ ein:

$y = 0,5 + 0,25 = 0,75$

$\Rightarrow A (0,5 | 0,75)$

$ t_{2} \cap p$

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$- x + 2,25$
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$- x + 2,25$	$+ x - 2,25$
$- x^{2} + 3 x - 2,25$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$x^{2} - 3 x + 2,25$	$=$	$0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
${(x - 1,5)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$x$	$=$	$1,5$

Setze $x = 1,5$ in $t_{2} : y = - x + 2,25$ ein:

$y = - 1,5 + 2,25 = 0,75$

$\Rightarrow B (1,5 | 0,75)$

$x^{2} + 4 x$	$=$	$m x + t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} + (4 - m) x - t$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D$	$=$	$(4 - m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)$
	$=$	$m^{2} - 8 m + 16 + 4 t$
	$=$	$0$

$y$	$=$	$2^{2} + 4 \cdot 2$
	↓	Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
	$=$	$12$
$12$	$=$	$2 m + t$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 \| y)$
$m x + t$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - (2 + m) x - 3 - t$

$y$	$=$	$- \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3$
	$=$	$- \frac{3}{2}$

$0$	$=$	$m^{2} + 4 m - 2 - 2 (3 m - \frac{3}{2})$
$0$	$=$	$m^{2} - 2 m + 1$
	↓	Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$0$	$=$	$(m - 1)^{2}$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
	↓	Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x)$	$=$	$- x - 2$
	↓	Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 3)$	$=$	$- (- 3) - 2$
	$=$	$1$

$2 x^{2} + 4 x - 1$	$=$	$m x + t$	$- m x - t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite
$2 x^{2} + (4 - m) x - 1 - t$	$=$	$0$

$m^{2} - 8 m + 24 + 8 (5 + 3 m)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die linke Seite aus
$m^{2} + 16 m + 64$	$=$	$0$
	↓	Verwende die binomische Formel
$(m + 8)^{2}$	$=$	$0$

$p^{'} (x)$	$=$	$2 x - 2$
	↓	Einsetzen des Wertes
$p^{'} (1,25)$	$=$	$2 \cdot 1,25 - 2$
$p^{'} (1,25)$	$=$	$0,5$
$m_{A}$	$=$	$0,5$

$m_{A} \cdot m_{B}$	$=$	$- 1$
$0,5 \cdot m_{B}$	$=$	$- 1$	$\cdot 2$
$m_{B}$	$=$	$- 2$

$5$	$=$	$- 3 m + t$	$+ 3 m$
$5 + 3 m$	$=$	$t$

$5$	$=$	$- 3 \cdot (- 8) + t$	$- 24$
$- 19$	$=$	$t$

$p (0)$	$=$	$(0 + 1)^{2} + 1$
	$=$	$2$

$p^{'} (x)$	$=$	$2 x_{B} - 2$
	↓	Einsetzten von -2
$- 2$	$=$	$2 x_{B} - 2$	$+ 2$
$0$	$=$	$2 x_{B}$
$x_{B}$	$=$	$0$

$\frac{y - 2}{x - 0}$	$=$	$- 2$	$\cdot x$
$y - 2$	$=$	$- 2 \cdot x$	$+ 2$
$y$	$=$	$- 2 x + 2$

Exercises: Tangent of a parabola

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung